Lad iterationsfunktionen f(z) = z². Da er det tilhørende iterative system med begyndelsesværdien z₀ givet ved følgen
    z₀, z₀², z₀⁴, z₀⁸, …
Dvs.
    z_n = z₀²ⁿ.

Af ovenstående ligning for z_n får vi at

    |z₀| > 1 : |z_n| → ∞ for n → ∞
    |z₀| < 1 : |z_n| → 0 for n → ∞
    |z₀| = 1 : |z_n| = 1 for alle n

Vi ser, at den eneste ikke-trivielle opførsel får vi, når |z₀| = 1. Lad os undersøge dette tilfælde nærmere.

Vha. begrebet vindingstal bliver det lidt nemmere at se på banen for f(z) = z².

Definition   Lad vindingstallet for et komplekst tal z være defineret ved v = arg z / 2π , hvor arg z er tallets argument i intervallet [0,2π[. Vindingstal ligger således i intervallet [0,1[.

Vi kan angive værdierne z_n i banen ved vindingstallet v_n. Det vil vi gøre. Vi vil først se på tilfældet hvor vindingstallet v₀ for begyndelsesværdien z₀ er rational. Dvs. v₀ kan skrives på formen p/q, hvor p/q er en uforkortelig brøk. Dette tilfælde deler vi op i to:
    1) q = 2ⁿ         2) q = 2ⁿ r, hvor r > 1 og r ulige

Sætning   For banen hørende til det iterative system med iterationsfunktion f = z² med begyndelsesværdi z₀, hvor z₀ er et rationalt tal med uforkortelig brøk p / q , gælder der,
    1) er q på formen q = 2ⁿ, hvor n > 0 er z₀ præperiodisk
    2) er q på formen q = 2ⁿ r, hvor r > 1 og r ulige er z₀ præperiodisk når n > 0 ellers er z₀ periodisk

bevis
Ad. 1): Vi får banen
    p / 2ⁿ → p / 2^n-1 → p / 2^n-2 → … → p / 2 → 0 &rarr 0 …
Efter højst n iterationer havner vi altså i fikspunktet 1 (svarende til et helt vindingstal), hvorfor z₀ hørende til et vindingstal p/q med q på formen 2ⁿ er præperiodisk.

Ad. 2): De første n led af banen er givet ved:
    p / 2ⁿr → p / 2^n-1r → p / 2^n-2r → … → p / 2r → p / r
Dvs. efter n iterationer er banen landet i et punkt med et vindingstal, som har ulige nævner. Dette punkt er vinkelspids i den regulære r-kant med vinkelspids i punktet 1. Ifølge nedenstående lemma er punktet med vindingstal p / r periodisk.
For n = 0 er p/q er altså periodisk.
For n ≥ 1 er p / q præperiodisk da nævneren 2ⁿr aldrig kommer igen.
qed.

Lemma   Begyndelsesværdien z₀ med vindingstal p/q hvor p/q er en uforkortelig brøk med q ulige er periodisk under iteration med iterationsfunktion f(z) = z².

bevis
Et tal med vindingstal p/q, hvor p/q er en uforkortelig brøk, er vinkelspids i den regulære q-kant med vinkelspids i tallet 1 (så er p/q den p'te vinkelspids mod urets retning). Da p/q itereres over i 2p/q, som igen er vinkelspids i samme q-kant, ses det, at vi efter højst q iterationer har været i samme punkt to gange (der er jo kun q vinkelspidser i q-kanten så en af vinkelspidserne må vi have besøgt to gange). Derfor må banen ende i en periode.

Dette viser blot at p/q er præperiodisk, men faktisk er p/q periodisk når q er ulige. Dette kan man se ved baglæns iteration af p/q. Er tælleren lige tager vi punktet hørende til vindingstallet (½p)/q som forgænger. Er tælleren ulige tager vi punktet hørende til vindingstallet ½(p+q)/q som forgænger. Dette kan vi blive ved med, men efter højst q gange baglæns iteration har vi besøgt mindst eet punkt to gange (samme argument som før). Det betyder så at p/q er et vindingstal hørende til et punkt i en periodisk bane. Dvs. p/q er periodisk.
qed.

Vi har altså nu vist at z₀ er præperiodisk eller periodisk, når det tilhørende vindingstal er rationalt. Hvad så når vindingstallet er irrationalt?

Sætning   Begyndelsesværdier z₀ med irrationalt vindingstal er hverken periodiske eller præperiodiske under iteration med iterationsfunktion f(z) = z².

Denne sætning er faktisk ret bemærkelsesværdig. Den betyder, at vi har fundet en iterationsfunktion med værdier på den begrænsede mængde enhedscirklen, som med den rette begyndelsesværdi z₀ aldrig vil have to ens punkter i sin bane! Dette iterative system vil flakke hvileløst rundt på enhedscirklen.

Før vi beviser ovenstående sætning om z₀ med irrationale vindingstal vil vi først vise følgende sætning

Sætning   Hvis vindingstallet p/q er periodisk med perioden k > 1, kan p/q skrives på formen
    p/q = n/(2^k - 1), n = 1, 2, 3, … 2^k - 2.
Hvis omvendt vindingstallet kan skrives på denne form, er det periodisk med perioden k eller m, hvor m er en ægte (dvs. ≠ 1) divisor i k.

bevis
Lad os antage, at p/q er periodisk med perioden k > 1. Det betyder, at
    2^k p/q = p/q + n, hvor n er et helt tal.
Lad os omskrive dette udtryk:
    2^k p/q = p/q + n ↔ p/q (2^k - 1) = n ↔ p/q = n / (2^k - 1).
Da p/q < 1 (det er jo et vindingstal) er n < 2^k - 1 og derfor kan p/q skrives på den ønskede form. Dette beviser første del af sætningen.

Lad nu p/q = n / (2^k - 1), hvor n tilhører 1, 2, 3, … , 2^k - 2. Det kan omskrives (via den modsatte vej af før) til 2^k p/q = p/q + n, hvilket betyder, at man efter k iterationer af p/q igen havner i p/q. Det betyder så, at k kan skrives som k = m · s, hvor m er perioden for p/q (idet k jo ikke behøver at være det mindste antal iterationer hvorefter vi havner tilbage i p/q, må det være et multipla af det mindste antal iterationer).
qed.

bevis for sætningen om irrationale vindingstal
Lad os antage at det irrationale vindingstal s er periodisk med perioden k. Der gælder så af den lige viste sætning, at
    s = n / (2^k - 1), hvor n tilhører 1, 2, 3, … , 2^k - 2.
Dvs. s kan skrives som en brøk, hvilket er i modstrid med, at s var irrational.
Dette viser, at irrationale vindingstal ikke kan være periodiske.

At irrationale vindingstal heller ikke kan være præperiodiske ses af følgende.
Antag nu, at det irrationale tal er præperiodisk. Det betyder, at s efter et antal iterationer, lad os sige m, er periodisk. Dvs. 2^ms er periodisk, hvilket igen betyder, at det kan skrives på formen     2^ms = n / (2^k - 1), hvor n tilhører 1, 2, 3, … , 2^k - 2.
Hvilket kan omskrives til
    s = n / (2^m (2^k - 1)), hvor n tilhører 1, 2, 3, … , 2^k - 2.
Med samme argument som før har vi igen en modstrid.
qed.