Juliamængder er fraktaler af typen escape-fraktaler. Lad iterationen z_i+1 = z_i² + c, hvor c er en værdi i de komplekse tal, være givet. Da er juliamængden defineret som randen af mængden givet ved de punkter c hvis iterationsbaner er begrænsede. Dvs. iteration af disse punkter går ikke mod uendelig. Vi kan definere Juliamængden givet ved iterationen
    z → z² + c
lidt mere formelt som
    J_c = {z ε C | z ε δJ_c⁺} , hvor δ betyder "randen af" og
    J_c⁺ = { z ε C | der gælder ikke at |z_n| → ∞ for n → ∞ }.

Kigger man på udseendet af Juliamængder, ser de ud til at falde i 3 kategorier, som vi vil kalde hhv. 1) lukkede kurver, 2) tråd-fraktaler og 3) støv-fraktaler.

Herunder viser vi nogle eksempler på Juliamænder katagoriseret efter disse 3 kategorier.

Juliamængder af typen 1) lukkede kurver.
Disse Juliamænder er sammenhængende. Dvs. mængden ser ud som om den kunne tegnes med en blyant uden at man løfter den. Endvidere deler den den komplekse talplan i en begrænset ikke-tom mængde bestående af de tal som spærres inde af kurven, som vi kunne kalde for kurvens indre (for tråd-fraktalerne er denne mængde tom) og en ikke-tom ikke-begrænset mængde udenfor kurven.

Julia1 (c=-1+0i):	Julia2 (c=-0.9+0i):	Julia3 (c=-0,85+0,15i):
Julia4 (c=-0,15+0,75i):	Julia5 (c=0,24+0,54i):	Julia6 (c=0.26+0.52i):

Juliamængder af typen 2) tråd-fraktaler.
Julia mængder af denne type er igen en sammenhængende mængde, men den har ikke noget indre (den ligner en tråd). Dvs. |z_n| for de z₀ som ikke tilhører juliamængden vil iterere mod uendelig.

Julia7 (c=i):

Juliamængder af typen 3) støv-fraktaler.
Juliamængder af denne type er ikke sammenhængdende. Faktisk kan man ikke finder to punkter tilhørende juliamængden, som hænger sammen via en kurve i Juliamængden. Man kalder en sådan mængde for diskret. Den ligner støv. (billederne kan dog snyde lidt!).

Julia8 (c=0.4+0i):

Julia9 (c=0.28+0.01i):

Julia10 (c=0,34+0,07i):

Flere Juliamængder.
Grunden til at mange af juliamængderne nedenfor har to eller flere "hvide pletter", skyldes at iterationen ikke har kørt længe nok - og de kan derfor være lidt svære at kategorisere efter de tre kategorier ovenfor.

Julia11 (c=0.31+0.03i):	Julia12 (c=0.32+0.04i):	Julia13 (c=0.36+0.10i):
Julia14 (c=0,24+0,52i):	Julia15 (c=0.27+0.49i):	Julia16 (c=0,36+0,35i):
Julia17 (c=0,38+0,23i):	Julia18 (c=0.36+0.11i):	Julia19 (c=0.10+0.61i):
Julia20 (c=0.04+0.63i):	Julia21 (c=0.14+0.59i):	Julia22 (c=0.18+0.57i):
Julia23 (c=0,06+0,63i):	Julia24 (c=0,05+0,64i):	Julia25 (c=0,13+0,63i):
Julia26 (c=0.31+0.44i):	Julia27 (c=0,12+0,62i):	Julia28 (c=0.05+0.63i):
Julia29 (c=0.25+0.55i):	Julia30 (c=0.24+0.53i):	Julia31 (c=0.15+0.58i):
Julia32 (c=0.03+0.63i):	Julia33 (c=0.27+0.48i):	Julia34 (c=0.24+0.55i):

Der er en bane for f(z) = z² + c der kan sige noget om en Juliamængdes udseende.

Definition   Det kritiske punkt er punktet 0. Den kritiske værdi er værdien c = f(0). Baner startende i enten det kritiske punkt 0 eller den kritiske værdi c vil vi kalde kritiske baner (bemærk at den eneste forskel på disse to baner er om 0 er med i banen eller ikke).

Sætning
Hvis iterationsfunktionen f(z) = z² + c har en tiltrækkende periodisk bane vil den specielt tiltrække den kritiske bane.

Vi vil ikke bevise denne sætning.

Af sætningen følger, at vores iterationssystem højst har een periodisk bane (ellers skulle den kritiske bane ifølge sætningen blive tiltrukket af begge, hvilket ikke kan lade sig gøre).

Den kritiske bane viser sig at være ekstremt vigtig til at kategorisere een fraktal i een af de tre kategorier vi har angivet ovenfor. Der gælder nemlig følgende sætning:

Sætning
Hvis den kritiske bane går mod en periode-n-bane er den tilhørende Juliamængde en lukket sammenhængende kurve. Hvis den kritiske bane går mod uendelig er den tilhørende Juliamængde en støvfraktal.

Der gælder endvidere følgende vigtige sætninger der siger noget om Juliamængdens topologi.

Sætning
Juliamængden for f(z) = z² + c er sammenhængende, hvis og kun hvis den kritiske bane ikke går mod uendelig.

Sætning
Juliamængden for f(z) = z² + c er en Cantor mængde, hvis og kun hvis den kritiske bane går mod uendelig.

Af den øverste sætning på siden om iteration af z² + c følger, at alle Juliamængder er støvfraktaler, når |c| er større end 2.