Vi vil iterere vha. de simple iterationsfunktioner f(z) = a z + b, hvor a, b og z tilhører de komplekse tal, og se om vi kan forstå opførslen af en sådan iteration udfra givne værdier for a og b.

Sætning   Lad z_i+1 = a z_i + b, hvor a, b og z_i tilhører de komplekse tal. Så gælder der at
    z_n = aⁿ z₀ + b (aⁿ - 1)/(a-1)     for a ≠ 1
og
    z_n = z₀ + n b     for a = 1.

Det interessante ved udtrykkene for z_n er, at man kan se at z_n er fastlagt ved et lukket udtryk.

bevis   Beviset følger ved induktion. I tilfældet a ≠ 1 benytter man sig af identiteten
    aⁿ + a^n-1 + … + a¹ + 1 = (aⁿ⁺¹ - 1)/(a - 1).
qed.

Af ovenstående ligninger kan man se, at hvis |a| ≠ 1 gælder følgende
    |a| > 1: |z_n| → ∞
    |a| < 1: z_n → -b/(a-1)
I disse tilfælde har vi fuldstændig kontrol over hvordan banen opfører sig.

Tilfældet |a| = 1 er lidt mere vanskeligt:
    a = 1: |z_n| → ∞, hvis b ≠ 0
    |a| = 1, a ≠ 1: |z_n| ≤ |aⁿ z₀| + |b| · |aⁿ - 1|/|a - 1| ≤ |z₀| + 2 |b| / |a - 1|

Man kan af disse udregninger se, at banen (når |a| = 1, a ≠ 1) er begrænset (dvs. går ikke mod uendelig).
Bemærk (ud fra den øverste ligning), at der når |a| = 1 så gælder der, at hvis aⁱ er periodisk, så er z_n det også.

Iterationen af lineære funktioner har ikke følsom afhængighed af begyndelsesbetingelserne, hvilket vi kan se af følgende.
Lad to iterationer z_i = f(z_i-1) og w_i = f(w_i-1) med begyndelsesværdierne z₀ og w₀ være givet. Så gælder der at,
    z_n - w_n = aⁿ z₀ - aⁿ w₀ = aⁿ (z₀ - w₀)    for a ≠ 1
og
    z_n - w_n = z₀ - w₀    for a = 1.

Heraf kan man se, at i det interessante tilfælde, hvor |a| = 1, a ≠ 1, der gælder, at
    |z_n - w_n| = |aⁿ||z₀ - w₀| = |z₀ - w₀|
dvs. afstanden er konstant og afhængigheden af begyndelsesbetingelserne er i dette tilfælde ikke følsom.