Newtons metode er en metode til approksimering af ligningsløsninger. Metoden er følgende:
1. Gæt en første approksimation x1 til løsningen af ligningen f(x)=0.
2. Vi benytter første approksimation x1 til at få en anden approksimation x2.
Den anden approksimation til at få en tredje approksimation x3 osv. For at komme fra n'te approksimation xn
til den næste approksimation xn+1 benyttes formlen
xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn),
hvor f'(xn) er den afledte af f i punktet xn.
Eksempel: Find roden af f(x) = x3-1.
Løsningen er klart nok 1, men lad os prøve at finde den med Newtons metode.
Vi finder først f'(x): f'(x) = 3x.
Lad os starte med en føste approksimation på x1 = 0.75.
Så benytter vi Newtons metode til at finde approksimationer til løsningen:
x2 = x1 - f(x1) / f'(x1) = 0.75 - f(0.75) / f'(0.75)
= 0.75 - ((0.75)3 - 1)/3*0.75 = 0.75 - (-0.256944) = 1.006944
x3 = 1.062496
x4 = 0.999923
x5 = 1.000000
I eksemplet har jeg udført udregningerne på en lommeregner Texas Instruments TI-68 og hvor jeg konsekvent har rundet af til 6 decimaler.
Selv når der er flere løsninger, som der f.eks er til ligningen x2-1 = 0,
som har både x1 = -1 og x2 = 1 som løsning, vil
Newtons metode konvergere mod en af løsningerne næsten altid. En undtagelse
er punktet x0=0. Da f'(x) = 2x, er f'(0) = 0, hvilket gør, at Newtons metode ikke
kan anvendes i dette punkt.
I den komplexe plan har ligningen z3-1 = 0 tre løsninger, som er
z1 = 1,
z2 = cos(π/3) + i sin(π/3) = 0.5 + i √3 / 2,
z3 = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = 0.5 - i √3 / 2,
hvor i er den imaginære konstant √-1
Som man sikkert kan regne ud vil løsningen afhænge af den valgte startværdi.
Når man skal forudsige hvilken løsning et givet startpunkt vil gå mod, står man faktisk ofte overfor et meget svært problem.
Man kan i tilfældet med ligningen z3-1 = 0 forestille sig, at planen deles i mindst tre dele, hvor hver del hører til et af de tre løsninger.
På grænsen mellem de forskellige dele har man et problem med at bestemme hvilke punkter som hører til hvilke løsninger.
Vi udfører et eksperiment for forskellige ligninger nedenfor, hvor resultatet er et sort/hvid-billede.
Den hvide del af billedet vil konvergere mod den ene af løsningerne (her 1+0i), mens den sorte del så konvergerer mod en af
de andre løsninger (eller måske overhovedet ikke konvergerer!).