Vi vil gerne undersøge banerne for iterationsfunktioner på formen f(z) = z² + c, især med henblik på hvornår og hvornår ikke banen går mod uendelig (dvs. |z_n| → ∞).

Lad os først vise et lille lemma.

Lemma   For funktionen f(z) = z² + c gælder der, at |f(z)| ≥ |z|² - |c|.

bevis
    f(z) = z² + c ↔ z² = f(z) - c ↔ |z²| = |f(z) - c| ↔ |z²| ≤ |f(z)| + |c|
    ↔ |f(z)| ≥ |z²| - |c| ↔ |f(z)| ≥ |z|² - |c|
qed.

Vi vil nu bevise følgende vigtige sætning, som siger noget om for hvilke værdier af c banerne vil gå mod uendelig.

Sætning   For det iterative system bestemt ved f(z) = z² + c med begyndelsesværdi z₀ gælder følgende
    |c| ≤ 2 : hvis |z₀| > 2 vil |z_n| → ∞ for n → ∞
    |c| > 2 : hvis |z₀| ≥ c vil |z_n| → ∞ for n → ∞

bevis
Af forudsætningerne til de to udsagn følger at det i begge tilfælde gælder, at
    |z₀| > |c| og |z₀| > 2.
Antag, at |z_i| > |c| og |z_i| > 2, så fås efter anvendelse af vort lemma, at
    |f(z_i)| ≥ |z_i|² - |c| ≥ |z_i|² - |z_i| = |z_i|(|z_i| - 1).
Definer nu k_i ved k_i = |z_i| - 1 > 1 (da |z_i| > 2).
Dvs. |z_i+1| = |f(z_i)| ≥ k_i|z_i| > |z_i| og derfor er |z_i+1| > |z_i| og således også k_i+1 > k_i
Da |f(z_i)| > |z_i|, kan vi genanvende det foregående argument, så vi får
    |z_i+2| = |f²(z_i)| = |f(f(z_i))| ≥ k_i+1 |f(z_i)| ≥ k_i+1 k_i |z_i|
Ved induktion får vi, at
|z_n+1| = |fⁿ(z₀)| = k_n · … · k₀ · |z₀| < k₀ⁿ |z₀| → ∞ for n → ∞ (da k₀ > 1 og |z₀| > 2)
qed.

Fikspunkterne for f(z) = z² + c opfylder
    f(z) = z ↔ z = z² + c ↔ z² + z + c = 0 ↔ z = (1 ± √ (1 - 4c))/2.
Vi kan dele op i følgende tilfælde:

c tilhører R:	c=1/4:	1/2 er fikspunkt
	c<1/4:	Der er to reelle fikspunkter
	c>1/4:	Der er to komplekse fikspunkter der er komplekst konjungerede
c tilhører C\R:		Der er to komplekse fikspunkter

Skal et tal være præfikspunkt efter 1. iteration, så skal der gælde, at f(z) tilhøre punktet/punkterne z = (1 ± (1 - 4c)^½)/2. Dvs. at
    z² + c skal tilhøre (1 ± (1 - 4c)^½)/2 = (1 ± (1 - 4c)^½)/2, hvilket er ensbetydende med, at
    z skal tilhøre ± ((1 ± (1 - 4c)^½)/2 - c)^½.
På samme måde kan man opstille betngelsen for at z er et præfikspunkt efter n iterationer. Man får med α = (1 ± (1 - 4c)^½)/2 at
    z skal tilhøre ± (± ( … ± (α - c)^½ - c)^½ … - c)^½

Lad os finde de periodiske punkter for f(z) = z² + c med periode 2.
f²(z) = z ↔ f(z² + c) = z ↔ (z² + c)² + c = z
    ↔ z⁴ + 2cz² + c² + c = z &harr z⁴ + 2cz² - z + c² + c = 0
    ↔ (z² - z + c)(z² + z + 1 + c) = 0
Her er indeholder første parentes (hvis rødderne til dette udtryk findes) vore fikspunkter og anden parentes indeholder så vore potentielle periode-2-punkter. Dvs. vi leder efter rødderne til andengradspolynomiet i anden parentes:
    z² + z + 1 + c = 0 ↔ z = (-1 ± (1 - 4(1 + c))^½)/2 = (-1 ± (-3 - 4c)^½)/2.
Der er da følgende tilfælde:

c tilhører R:	c=-3/4:	løsningen er -1/2, som er et fikspunkt og ikke af periode 2
	c<-3/4:	Der er to reelle periode-2-punkter
	c>-3/4:	Der er to komplekse periode-2-punkter der er komplekst konjungerede
c tilhører C\R:		Der er to komplekse periode-2-punkter

Vil man finde periode-3-punkterne må man løse en fjerdegradsligning. For at finde periode-4-punkterne må man løse en ottendegradsligning osv. Denne metode er derfor ikke særlig anvendelig til at finde periode-n-punkter.

Vi vil nu gerne anvende vore fundne resultater. Dette er bl.a. gjort på siden om Juliamængder.