Billederne på denne side, som kaldes for ikoner, er en mængde af punkter givet ved følgen: {Fⁿ(x₀) | n tilhører N }, hvor vi ved Fⁿ(x) forstår F(F(···(F(x)))···). Vælges F med omhu fås nogle fantastiske grafiske fremstillinger.

Lad D_n betegne den dihedrale gruppe bestående af alle symmetrier på den regulære n-kant og lad Z_n betegne den symmetriske gruppe bestående af alle rotationer på den regulære n-kant.

En symmetrisk afbildning F: R² → R² siges at være D_n (hhv. Z_n )-symmetrisk, hvis der for alle S tilhørende D_n (hhv. Z_n ) gælder, at
    F(Sz) = S(F(z)) for alle z tilhørende R².

For en afbildning F som er D_n-symmetrisk gælder bl.a. at hvis z tilhører L_S, så vil F(z) tilhøre L_S (hvor L_S er symmetriaksen L_S = { z tilhørende R² | Sz = z }).

Det vil være en stor hjælp for os hvis vi fremover fortolker R² som de komplekse tal C, ved at tolke (x,y) tilhørende R² som x + iy tilhørende C - så det vil vi gøre.

Så kan vi beskrive D_n som gruppen frembragt af de to elementer rotationen R og spejlingen χ, hvor χ er en spejling i en af symmetriakserne, som vi passende kan lade være x-aksen.
Så kan χ beskrives ved χ(z) = conj(z), mens R kan beskrives som multiplikation med det komplekse tal ρ med længde 1 og fase π/n, dvs R(z) = ρz. (med conj(z) mener vi funktionen conj(x + iy) = x - iy)

Den logistiske afbildning g₀(x) = λ x (1 - x) = λ (x - x²) giver ikke en symmetrisk attraktor, hvilket kan ses af feigenbaumtræet.

Vil vi give attraktoren en symmetri, må det være en spejling. Lad os tage spejlingen i 0. Dvs S(x) = -x.

g₀ bliver så symmetrisk mht. S ved at ændre g₀ til g(x) = λ x (1 - x²). Dette vil så give en symmetrisk attraktor og g(x) kaldes for den ulige logistiske afbildning.

Vi vil udvide denne afbildning til hele R² hvilket kan gøres ved at definere g som
    g(x,y) = λ (1 - (x² + y²))(x,y).
Sætter vi x = 0 får vi den ulige logistiske afbildning på hele x-aksen og sætter vi y = 0 får vi den ulige logistiske afbildning på hele y-aksen. Faktisk får vi en ulige logistisk afbildning på enhver ret linje gennem origo (0,0).

Afbildningen g(x,y) ovenfor er cirkulærsymmetrisk, dvs. for alle S tilhørende O₂ = { gruppen frembragt af alle rotationer og spejlinger på R²}, gælder at g(Sz) = S(g(z)).

Vi vil bryde noget af denne symmetri ved at tilføje et led som tilhører D_n nemlig funktionen f(z) = conj(z)^n-1.

Tilføjer vi dette led får vi altså en familie af D_n-symmetriske afbildninger:
    F₁ = λ (1 - |z|²) z + γ conj(z)^n-1, hvor λ og γ tilhører R.

For at frembringe mange af deres såkaldte ikoner tilføjede Field og Golubitsky endnu et led til ligningen og lod leddet |z|² variere uafhængigt af λ, sådan at de fik familien:
    F₂(z) = [ λ + α|z|² + β Re (zⁿ)] z + γ conj(z)^n-1, hvor λ, α, β og γ tilhører R.

Emperors Cloak: (D5)

Halloween: (D6)

Mayan Bracelet: (D7)

Endnu en variation af ovenstående formel fås ved at tilføje et ikke polynomielt led:
    F₃(z) = [ λ + α|z|² + β Re (zⁿ) + δ Re (z/|z|^np)|z|] z + γ conj(z)^n-1,
hvor λ, α, β, γ og δ tilhører R og p tilhører N₀.
Dette sidste led har til formål at ændre ikonet omkring centrum.

Mercedes-Benz: (D3)

Star of David: (D6)

Lace By Nine: (D9)

Vil vi bryde D_n-symmetrien må vi tilføje et led, som ikke er D_n-symmetrisk. Tilføjer vi det Z_n-symmetriske led givet ved funktionen h(z) = ωiz, hvor ω tilhører R, får vi en Z_n-symmetrisk afbildning ved at benytte
    F₄(z) = [ λ + α|z|² + β Re (zⁿ) + ωi] z + γ conj(z)^n-1,
hvor λ, α, β, γ og ω tilhører R.
En afbildning i denne familie er ikke D_n-symmetrisk når ω ≠ 0.

Clam Triple: (Z3)

Swirling Strangers: (Z4)

Chaotic Flower: (Z5)

Antag S tilhører D_n og at F er en D_n-symmetrisk afbildning. Lad os betragte de to følger:
    (1) z, F(z), F(F(z)), F(F(F(z))), ...
    (2) Sz, F(Sz), F(F(Sz)), F(F(F(Sz))), ...

Idet F er D_n-symmetrisk vil man kunne få følge (2) fra følge (1) ved at lade S virke på hvert element i følge (1). Dvs. er S f.eks. en rotation vil man kunne få følge (2) ved at rotere følge (1) med S.

Lad A være attraktoren hørende til følge (1), så er S(A) attraktoren hørende til følge (2). Der er så to tilfælde.
    • Enten er A=S(A) dvs. A er S-symmetrisk.
    • Eller A ≠ S(A) og A ∩ S(A) = { Ø }.
Vi kalder i det sidste tilfælde A og S(A) for konjungerede billeder.