Der er en klasse af funktioner kaldet transcendentale funktioner. Disse er karakteriseret ved ikke at være nogen rod til ligninger på formen
    P_n(x) yⁿ + P_n-1 y^n-1 ... P₁(x) y + P₀(x) = 0,
hvor P_j(x) er et polynomium i x. Funktioner som opfylder ligningen kaldes algebraiske.

Et eksempel på en funktion som ikke er transcendental, er funktionen y = 1/(1+x)^½, som er løsning til (1+x)y² - 1 = 0. Denne funktion er altså algebraisk. Andre algebraiske funktioner er alle polynomier og rationale funktioner. Ligeledes er alle sammensætinger af summe, produkter, kvotienter, potenser og rødder af algebraiske funktioner algebraiske.

Eksempler på transcendentale funktioner er de basale trigonometriske funktioner cos(x), sin(x), tan(x). Ligeledes er logaritme- og eksponentialfunktionerne transcendentale. Heraf følger, at de hyperbolske funktioner er transcendentale dvs. cosh(x), sinh(x), tanh(x), csch(x), csch(x) og coth(x). Dise er defineret ved at tage Eulers formler og tage i'erne væk. Dvs.
    cos(z) = (e^iz + e^-iz)/2     →     cosh(z) = (e^z + e^-z)/2
Ligeledes finder man udtrykket for de andre hyperbolske funktioner. Man får altså:

Som set på siderne mandelbrot og julia frembringer polynomiet x²+c velkendte fraktaler som mandelbrot- og juliamængderne. Vi vil her se på mandelbrotmængder og juliamængder frembragt af transcendentale funktioner i stedet for polynomier.

Mandelbrotmængden for en funktion f frembringes ved at itererere
    z_i+1 = f(z_i) + z_i.
Tilsvarende frembringes Juliamængden for det komplekse tal c for funktionen f ved at iterere
    z_i+1 = f(z_i) + c.

Vi har på billederne herunder valgt at farve startpunktet z₀ efter hvornår |z_i| > N, hvor N er et naturligt tal, typisk et stort tal. I de fleste af billederne har vi valgt at farve z₀ sort eller hvid afhængigt af værdien af i modulo 2.